卡丹公式求解一元三次方程

卡丹公式是求解一元三次方程的通用方法，由意大利数学家杰罗拉莫・卡尔达诺在 16 世纪提出。

对于一般的一元三次方程 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$（$a\ne 0$），可先通过线性变换（如令 $x=y-\frac{b}{3a}$）消去二次项，转化为标准形式：$y^3+py+q=0$。

卡丹公式的核心思路是假设解的形式为 $y=u+v$，代入方程后可得：$(u+v{)}^3+p(u+v)+q=0$展开后整理为：$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$为简化计算，令 $3uv+p=0$，即 $uv=-\frac{p}{3}$，此时方程变为 $u^3+v^3=-q$。

设 $u^3$ 和 $v^3$ 为方程 $t^2+qt-{\left(\frac{p}{3}\right)}^3=0$ 的两个根，由韦达定理可得：$u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3},v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}$取一组立方根 $u$ 和 $v$（满足 $uv=-\frac{p}{3}$），则原方程的一个实根为：$y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}}$另外两个根可通过复数立方根求出。

你提到的 “换元成 $x=A+\frac{1}{A}$” 可能是某些特殊三次方程的简化手段，而卡丹公式是更普适的解法。五次方方程则不存在类似的通用根式解（阿贝尔定理已证明），需用其他方法（如数值解法）求解。