根式解与群的关系

一、根式解的概念

二、五次及以上方程无一般根式解

三、特殊高次方程有根式解的情况

四、群的概念

1. 封闭性：对于任意$a,b\in G$，都有$a\cdot b\in G$。
2. 结合律：对于任意$a,b,c\in G$，都有$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。
3. 单位元：存在一个元素$e\in G$，使得对于任意$a\in G$，都有$a\cdot e=e\cdot a=a$。
4. 逆元：对于任意$a\in G$，都存在一个元素$b\in G$，使得$a\cdot b=b\cdot a=e$，$b$称为$a$的逆元，记为$a^{-1}$。

• 封闭性：两个同阶可逆方阵相乘得到的仍是同阶可逆方阵，满足封闭性。
• 结合律：矩阵乘法满足结合律，即对于任意三个同阶方阵$A$、$B$、$C$，有$(AB)C=A(BC)$。
• 单位元：单位矩阵$I$满足对于任意同阶可逆方阵$A$，$AI=IA=A$，单位元存在。
• 逆元：可逆方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$满足$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$，逆元存在。

方形矩阵可逆性与线性方程组

与高次方程根的联系

• 封闭性：两个复数相加仍为复数。
• 结合律：复数加法满足结合律，即$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$。
• 单位元：存在复数$0$，使得对于任意复数$z$，$z+0=0+z=z$。
• 逆元：对于任意复数$z=a+bi$，其逆元为$-z=-a-bi$，满足$z+(-z)=(-z)+z=0$。

• 封闭性：两个非零复数相乘仍为非零复数。
• 结合律：复数乘法满足结合律，即$(z_1{z}_2)z_3=z_1(z_2{z}_3)$。
• 单位元：存在复数$1$，使得对于任意非零复数$z$，$z\times 1=1\times z=z$。
• 逆元：对于非零复数$z=a+bi$，其逆元为$\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$，满足$z\times \frac{1}{z}=\frac{1}{z}\times z=1$。

• 封闭性：任意两个实数相加结果仍为实数。
• 结合律：实数加法满足结合律，即$(a+b)+c=a+(b+c)$。
• 单位元：存在实数$0$，使得对于任意实数$a$，$a+0=0+a=a$。
• 逆元：对于任意实数$a$，其逆元为$-a$，满足$a+(-a)=(-a)+a=0$。

• 封闭性：任意两个非零实数相乘结果仍为非零实数。
• 结合律：实数乘法满足结合律，即$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。
• 单位元：存在实数$1$，使得对于任意非零实数$a$，$a\times 1=1\times a=a$。
• 逆元：对于任意非零实数$a$，其逆元为$\frac{1}{a}$，满足$a\times \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\times a=1$。

• 复数集对于加法构成群：具有封闭性，任意两个复数相加结果还是复数；满足结合律；单位元是$0$；任意复数$z=a+bi$都有逆元$-z=-a-bi$。
• 非零复数集对于乘法构成群：有封闭性，两个非零复数相乘结果为非零复数；满足结合律；单位元是$1$；对于非零复数$z=a+bi$，其逆元为$\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$。
• 复数集对于除法不构成群：因为复数$0$做除数无意义，不满足群中每个元素都有逆元的条件，所以复数集对于除法运算不构成群。

1. 首先回顾四元数的基本概念
   • 四元数$q=w+xi+yj+zk$，其中$w,x,y,z\in R$，且$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。四元数的模$|q|=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}$，对于表示旋转的四元数，通常是单位四元数，即$|q|=1$。
   • 四元数乘法：设$q_1=w_1+x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k$，$q_2=w_2+x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k$，则$q_1{q}_2=(w_1{w}_2-x_1{x}_2-y_1{y}_2-z_1{z}_2)+(w_1{x}_2+x_1{w}_2+y_1{z}_2-z_1{y}_2)i+(w_1{y}_2-x_1{z}_2+y_1{w}_2+z_1{x}_2)j+(w_1{z}_2+x_1{y}_2-y_1{x}_2+z_1{w}_2)k$。
2. 然后介绍球面线性插值（Slerp - Spherical Linear Interpolation）方法
   • 设要在四元数$q_1$和$q_2$之间进行插值，插值参数为$t\in [0,1]$。
   • 首先计算两个四元数的夹角$\theta$，$\cos \theta =q_1\cdot q_2=w_1{w}_2+x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$。
   • 当$|\cos \theta |\approx 1$（即$q_1$和$q_2$非常接近）时，可以使用线性插值近似：$q(t)=(1-t)q_1+t{q}_2$。
   • 一般情况下，使用球面线性插值公式：$q(t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_2$。
3. 具体例子
   • 假设$q_1=(0,0,0,1)$，$q_2=(0,1,0,0)$。
   • 先计算$\cos \theta =q_1\cdot q_2=0$，则$\theta =\frac{\pi }{2}$，$\sin \theta =1$。
   • 若要插入$n=3$个值（即把$[0,1]$区间分成$n+1=4$等份，$t$取值为$t_0=0,t_1=\frac{1}{4},t_2=\frac{1}{2},t_3=\frac{3}{4},t_4=1$）：
     • 当$t=0$时，$q(0)=\frac{\sin ((1-0)\frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_1+\frac{\sin (0\times \frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_2=q_1=(0,0,0,1)$。
     • 当$t=\frac{1}{4}$时，$q(\frac{1}{4})=\frac{\sin ((1-\frac{1}{4})\frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_1+\frac{\sin (\frac{1}{4}\times \frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_2$
       • $\sin (\frac{3\pi }{8})\approx 0.924$，$\sin (\frac{\pi }{8})\approx 0.383$。
       • $q(\frac{1}{4})=0.924(0,0,0,1)+0.383(0,1,0,0)=(0,0.383,0,0.924)$。
     • 当$t=\frac{1}{2}$时，$q(\frac{1}{2})=\frac{\sin ((1-\frac{1}{2})\frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_1+\frac{\sin (\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_2$
       • $\sin (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$。
       • $q(\frac{1}{2})=0.707(0,0,0,1)+0.707(0,1,0,0)=(0,0.707,0,0.707)$。
     • 当$t=\frac{3}{4}$时，$q(\frac{3}{4})=\frac{\sin ((1-\frac{3}{4})\frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_1+\frac{\sin (\frac{3}{4}\times \frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_2$
       • $\sin (\frac{\pi }{8})\approx 0.383$，$\sin (\frac{3\pi }{8})\approx 0.924$。
       • $q(\frac{3}{4})=0.383(0,0,0,1)+0.924(0,1,0,0)=(0,0.924,0,0.383)$。
     • 当$t=1$时，$q(1)=\frac{\sin ((1-1)\frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_1+\frac{\sin (1\times \frac{\pi }{2})}{\sin \frac{\pi }{2}}{q}_2=q_2=(0,1,0,0)$。

三维空间中的向量叉乘

旋转操作

克利福德代数

• 结果的局限性：向量叉乘的结果是一个新的向量，其方向遵循右手定则，大小等于两个向量构成平行四边形的面积。它只是给出了一个与原始两个向量都垂直的向量，只能确定旋转的轴的方向，而对于旋转的角度、旋转的起始和终止位置等信息无法直接体现。例如，已知$a\times b=c$，仅从这个结果无法得知$a$绕$c$旋转了多少角度才到达与$b$相关的位置。
• 缺乏旋转的整体性描述：一个完整的旋转需要明确旋转轴、旋转角度以及旋转的参考系等多个要素。三维向量叉乘只能涉及到旋转轴这一个要素，对于其他关键信息无法直接给出。而四元数可以通过其特定的形式$q=a+bi+cj+dk$，将旋转轴和旋转角度等信息都包含在内，能够更全面、准确地描述三维空间中的旋转。

• 旋转轴与旋转角度：绕轴向量$n=(a,b,c)$旋转角度$\theta$的四元数可表示为$q=(\cos (\theta /2),a\cdot \sin (\theta /2),b\cdot \sin (\theta /2),c\cdot \sin (\theta /2))$。这里的轴向量$n$确定了旋转轴的方向，$\theta$就是旋转角度。
• 起始点与起始路径：在三维空间中，向量的起始点就是其坐标所表示的点。四元数本身并不直接确定向量旋转的起始路径，不过当对一个向量进行旋转操作时，可将向量视为三维空间中的一个点，用四元数去左乘或右乘该向量对应的四元数（向量的标量部分取零），通过$p^{\prime }=qp{q}^{-1}$公式来得到旋转后的向量$p^{\prime }$。这个过程中，四元数$q$决定了旋转的方式，而起始路径可以理解为从起始点开始，沿着以旋转轴为中心的圆周路径进行旋转。

• 在正四面体中：正四面体的中心与顶点连线和底面所成角约为 54.74 度。如果从正四面体的中心向底面作垂线，该垂线与中心和顶点连线的夹角约为 35.26 度。
• 在晶体结构中：某些晶体的晶面夹角可能与这两个角度相关，对研究晶体的结构和性质有重要意义。
• 在力学问题中：当物体在斜面上受到特定力的作用，且斜面角度与这两个角度相关时，物体的受力分析和运动状态会呈现出特定的规律。

1. 首先明确球面线性插值（Slerp）公式：
   • 对于两个四元数$q_1$和$q_2$，球面线性插值公式为$q(t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_2$，其中$\theta$是$q_1$和$q_2$之间的夹角，$\cos \theta =q_1\cdot q_2$（这里的点乘是四元数的点乘运算，$q_1\cdot q_2=w_1{w}_2+x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$），$t\in [0,1]$，当$t=1$时，得到从$q_1$到$q_2$的最短旋转路径上的终点四元数。
2. 计算$q_1$和$q_2$之间的夹角$\theta$：
   • 已知$q_1=(0,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$，$q_2=(0,-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$。
   • 根据四元数点乘公式$q_1\cdot q_2=0\times 0+\frac{1}{\sqrt{3}}\times (-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{\sqrt{3}}\times (-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{\sqrt{3}}\times (-\frac{1}{\sqrt{3}})$$=-1$。
   • 因为$\cos \theta =q_1\cdot q_2=-1$，所以$\theta =\pi$。
3. 当$t=1$时，代入 Slerp 公式：
   • $q(1)=\frac{\sin ((1-1)\pi )}{\sin \pi }{q}_1+\frac{\sin (1\times \pi )}{\sin \pi }{q}_2$。
   • 由于$\sin (0)=0$，$\sin (\pi )=0$，此时我们可以换一种思路。
   • 我们知道，四元数$q_1$到$q_2$的旋转四元数$q_r$满足$q_2=q_r{q}_1{q}_r^{-1}$。在这种简单情况下，我们可以考虑四元数的几何意义。
   • 对于单位四元数（这里$q_1$和$q_2$都是单位四元数，$|q_1|=\sqrt{0^2+(\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2}=1$，$|q_2|=1$），从$q_1$到$q_2$的旋转可以看作绕某个轴旋转$\pi$弧度。
   • 设旋转轴对应的四元数$q_{axis}$，根据四元数旋转的性质，我们可以发现绕向量$(0,1,0)$（或其他合适的单位向量）旋转$\pi$弧度可以实现从$q_1$到$q_2$的转换。绕轴$n=(0,1,0)$旋转$\pi$弧度的四元数$q=(\cos (\frac{\pi }{2}),0\times \sin (\frac{\pi }{2}),1\times \sin (\frac{\pi }{2}),0\times \sin (\frac{\pi }{2}))=(0,0,1,0)$。
   • 我们也可以直接得出，因为要求的是从$q_1$到$q_2$的旋转终点，所以终点四元数就是$q_2=(0,-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$。

1. 首先回顾球面线性插值（Slerp）公式：
   • 对于两个四元数$q_1$和$q_2$，球面线性插值公式为$q(t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_2$，其中$\theta$是$q_1$和$q_2$之间的夹角，$\cos \theta =q_1\cdot q_2$（四元数点乘$q_1\cdot q_2=w_1{w}_2+x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$），$t\in [0,1]$。
   • 当求中点时，$t=0.5$。
2. 计算$q_1$和$q_2$之间的夹角$\theta$：
   • 已知$q_1=(0,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$，$q_2=(0,-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$。
   • 根据四元数点乘公式$q_1\cdot q_2=0\times 0+\frac{1}{\sqrt{3}}\times (-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{\sqrt{3}}\times (-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{\sqrt{3}}\times (-\frac{1}{\sqrt{3}})=-1$。
   • 因为$\cos \theta =q_1\cdot q_2=-1$，所以$\theta =\pi$，$\sin \theta =\sin \pi =0$。但由于$\sin \theta =0$时 Slerp 公式不能直接使用，我们可以利用三角函数的倍角公式对 Slerp 公式进行变形。
   • 当$\theta \ne 0$时，$q(t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_2$，当$t=0.5$时，$q(0.5)=\frac{\sin (\frac{\theta }{2})}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (\frac{\theta }{2})}{\sin \theta }{q}_2$。
   • 根据三角函数二倍角公式$\sin \theta =2\sin (\frac{\theta }{2})\cos (\frac{\theta }{2})$，则$q(0.5)=\frac{1}{2\cos (\frac{\theta }{2})}(q_1+q_2)$。
   • 因为$\theta =\pi$，$\cos (\frac{\theta }{2})=\cos (\frac{\pi }{2})=0$，我们换一种方法。
   • 对于单位四元数$q_1$和$q_2$，我们知道四元数乘法和旋转的关系。
   • 设$q_1$和$q_2$是单位四元数，从$q_1$到$q_2$绕轴$n$旋转$\theta$角度的四元数为$q=(\cos (\frac{\theta }{2}),n_x\sin (\frac{\theta }{2}),n_y\sin (\frac{\theta }{2}),n_z\sin (\frac{\theta }{2}))$。
   • 由于$q_1$和$q_2$关于原点对称（$q_2=-q_1$），可以认为是绕某个轴旋转$\pi$弧度。
   • 我们直接计算：
     • $q(0.5)=\frac{q_1+q_2}{|q_1+q_2|}$（因为要保证结果是单位四元数）。
     • $q_1+q_2=(0,\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}})=(0,0,0,0)$这种方法不行，我们回到 Slerp 的本质。
     • 当$t=0.5$，$\theta =\pi$时，$\sin ((1-t)\theta )=\sin (\frac{\pi }{2})=1$，$\sin (t\theta )=\sin (\frac{\pi }{2})=1$，$\sin \theta =\sin \pi =0$，我们利用极限的思想，$\underset{\theta \to \pi }{\lim }\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_2$。
     • 实际上，对于绕轴旋转$\pi$弧度，从$q_1$到$q_2$，当$t=0.5$时，我们可以取$q(0.5)=(0,0,\pm 1,0)$（因为绕轴旋转$\pi$弧度，中点四元数与$q_1$和$q_2$的关系，且保证是单位四元数）。
     • 另一种计算：
       • 已知$q_1=(0,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$，$q_2=(0,-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$，我们可以先找到旋转轴对应的四元数$q_{axis}$。设旋转轴为$n$，因为$q_2=-q_1$，可以取$n=(0,1,0)$，绕$n$旋转$\pi$弧度的四元数$q_{rot}=(0,0,1,0)$。
       • 根据四元数旋转公式$q_2=q_{rot}{q}_1{q}_{rot}^{-1}$，对于单位四元数$q_{rot}$，$q_{rot}^{-1}=q_{rot}$。
       • 当求中点时，相当于绕轴$n$旋转$\frac{\pi }{2}$弧度，对应的四元数$q_{mid}=(0,0,\cos (\frac{\pi }{4}),\sin (\frac{\pi }{4}))=(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$（假设绕$(0,1,0)$轴旋转，也可以有其他符合条件的单位四元数表示，只要满足从$q_1$到$q_2$旋转路径上的中点即可）。

分母为$\sin \theta$的原因

• 向量投影归一化：在 SLERP 中，$\sin \theta$做分母是一种归一化操作。假设有两个向量$p_0$和$p_1$，它们之间的夹角为$\theta$，$p_1$在垂直于$p_0$方向上的投影长度为$|p_1|\sin \theta$。当进行插值计算时，需要将这个投影长度归一化，使得在整个插值过程中，插值结果始终在单位球面上，从而保证插值的稳定性和正确性。

旋转$\pi$角度时的情况

公式推导

• 构建正交坐标系：假设要在单位向量$a$和$b$之间进行插值，设它们之间的夹角为$\omega$。以$a$为$\hat{x}$轴方向，构建一个正交坐标系。那么$\hat{y}$轴方向的单位向量可以通过将$b$减去其在$a$上的投影，然后归一化得到，即$\hat{y}=\frac{b-\cos \omega a}{\sin \omega }$。
• 参数化圆公式：根据参数化圆公式，插值结果$c$可以表示为$c=\cos (t\omega )\hat{x}+\sin (t\omega )\hat{y}$。将$\hat{x}=a$和$\hat{y}=\frac{b-\cos \omega a}{\sin \omega }$代入上式，经过一系列三角函数运算和化简，就可以得到 SLERP 公式：$\text{slerp}(a,b,t)=\frac{\sin ((1-t)\omega )}{\sin \omega }a+\frac{\sin (t\omega )}{\sin \omega }b$。

向量投影与归一化的关系

• 在 SLERP 中，我们考虑的是单位球面上的向量插值。假设$p_0$和$p_1$是单位球面上的两个向量，它们之间的夹角为$\theta$。$p_1$在垂直于$p_0$方向上的投影长度为$|p_1|\sin \theta$，由于$p_1$是单位向量，所以其模长$|p_1|=1$，投影长度就是$\sin \theta$。
• 归一化操作就是要将这个投影长度转化为一个相对的、与向量模长无关的量。在插值过程中，我们希望根据这个投影长度来确定插值点在两个向量之间的位置，而不受到向量模长变化的影响。通过将投影长度除以$\sin \theta$，就实现了归一化，使得这个量只与两个向量的夹角以及插值参数有关，而与向量本身的长度无关。

保证插值在单位球面上的意义

• 在 3D 旋转动画等应用中，我们使用四元数来表示旋转，而四元数可以看作是单位球面上的点。如果插值结果不在单位球面上，那么它所表示的旋转就会出现异常，比如旋转的角度不正确、旋转的轴发生偏移等。
• 当我们通过归一化操作保证插值结果始终在单位球面上时，就能够确保在整个插值过程中，旋转的表示是稳定和正确的。具体来说，就是无论我们如何在两个四元数之间进行插值，得到的中间结果都能正确地表示一个合法的旋转，不会出现突然的跳跃或错误的旋转，从而保证了动画的流畅性和准确性。例如，在对一个物体进行旋转动画时，如果插值结果不在单位球面上，可能会导致物体在旋转过程中突然变大或变小，或者旋转的方向出现错误，而通过归一化保证在单位球面上插值，就能避免这些问题，让物体按照预期的方式平稳地旋转。

实际应用角度

数学原理角度

模长与旋转稳定性的关系

角度与旋转稳定性的关系

BitNet 与四元数

三进制与三维

叉乘得到的向量与旋转的关系

与线性变换的联系和区别

• 联系：在一定程度上，叉乘可以看作是一种特殊的线性变换。因为它满足对向量加法的分配律，即$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$，以及对实数乘法的结合律，$k(a\times b)=(ka)\times b=a\times (kb)$，这是线性变换的基本性质。
• 区别：然而，一般的线性变换是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，且保持向量的加法和数乘运算。而叉乘的结果虽然是向量，但它的定义和几何意义与常见的线性变换如矩阵变换有所不同。叉乘主要是基于两个向量在三维空间中的相对位置和夹角来确定一个新的向量，其结果向量的方向和大小与原向量有特定的几何关系，并非简单的通过矩阵乘法等方式进行的线性映射。

确定旋转轴方向

遵循右手定则便于统一描述

用于相关物理量的计算