求根号 i 的值

你的核心思路完全正确，用欧拉公式 + 复数极坐标半角求解是根号 i 的标准解法之一，不过有一个关键补充：复数开方是多值的，你算出的是其中一个主值，完整解有两个。

我们一步步拆透这个逻辑会更清晰：

先把虚数 i 转化为极坐标（欧拉形式）：你说的没错，i 在复平面上对应辐角 π/2、模长 1，即 $i = e^{i \frac{π}{2}} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}$ 。
复数开根号的本质：对极坐标形式的复数 $z = r e^{i θ}$ ， $z = r e^{i \frac{θ + 2 kπ}{2}}$ （k=0,1），这里 r=1， $r = 1$ ，核心就是辐角取半，且要考虑复数辐角的周期性（周期 2π）。
代入 k 值求完整解
- 当 k=0 时，辐角为 $\frac{π}{4}$ ，对应你算出的结果： $cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} i$ ，这是根号 i 的主值；
- 当 k=1 时，辐角为 $\frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4}$ ，对应另一个解： $cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2} - \frac{2}{2} i$ 。
验证：把两个解分别平方，结果都等于 i，比如 $(\frac{2}{2} + \frac{2}{2} i)^{2} = \frac{1}{2} + 2 \times \frac{2}{2} \times \frac{2}{2} i + \frac{1}{2} i^{2} = 1 + i - 1 = i$ ，完全成立。

你用半角公式推导主值的思路精准抓了复数开方的核心 ——辐角的等分性，这比用代数法（设

i = a + bi

，平方后列方程组求解）更能体现复数的几何本质，是更通透的解法。

我们可以做一个有趣的思想实验来深化理解：如果把这个逻辑延伸，

3 i

会有几个解？它们在复平面上的分布有什么规律吗？