求正态分布均值及随机挑选的数学期望

1. 首先求样本均值$\bar{x}$：
   • 已知对随机过程进行了$n=1000$次取样，样本总和$S={\sum }_{i=1}^n{x}_i=500000$。
   • 根据样本均值的计算公式$\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$，将$n=1000$，${\sum }_{i=1}^n{x}_i=500000$代入可得：$\bar{x}=\frac{500000}{1000}=500$。
   • 在正态分布中，当样本量足够大时（一般$n\ge 30$，这里$n=1000$），样本均值$\bar{x}$是总体均值$\mu$的一个无偏估计，所以合理估计总体均值$\mu \approx 500$。
2. 然后求数学期望$E(X)$：
   • 对于服从正态分布$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$的随机变量$X$，其数学期望$E(X)=\mu$。
   • 因为我们通过样本均值估计总体均值$\mu \approx 500$，从这$1000$次采样中随机挑选一个样本，该样本来自于总体，所以从这$1000$次采样中随机挑选出来的随机变量的数学期望值$E(X)\approx 500$。

利用 1000 次样本估计方差${\sigma }^2$

利用 10 次随机样本估计方差${\sigma }^2$

理论依据

• 该公式基于合并方差的思想以及中心极限定理。当有两个样本，且假设它们都来自同一个正态总体时，可以通过合并两个样本的信息来估计总体方差。对于样本均值，根据中心极限定理，其抽样分布近似服从正态分布，样本均值的方差与总体方差及样本量有关，即$\text{Var}(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$。

推导过程

• 设$S_{10}^2$为 10 次采样的样本方差，$S_{1000}^2$为 1000 次采样的样本方差（这里假设我们知道$S_{10}^2$，但$S_{1000}^2$未知）。根据样本方差的计算公式$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$，可以得到$(n-1)S^2={\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$。
• 对于 10 次采样，有$(n_{10}-1)S_{10}^2={\sum }_{i=1}^{n_{10}}(x_i-{\bar{x}}_{10}{)}^2$；对于 1000 次采样，有$(n_{1000}-1)S_{1000}^2={\sum }_{i=1}^{n_{1000}}(x_i-{\bar{x}}_{1000}{)}^2$。
• 我们想通过已知的${\bar{x}}_{10}$、${\bar{x}}_{1000}$和$S_{10}^2$来估计总体方差${\sigma }^2$。可以将两个样本合并来考虑，合并后的方差估计值$S_p^2$为：
  $$\begin{array}{rl}{S}_p^2& =\frac{(n_{10}-1)S_{10}^2+(n_{1000}-1)S_{1000}^2}{n_{10}+n_{1000}-2}\end{array}$$
• 由于$S_{1000}^2$未知，我们可以利用样本均值的方差关系来近似。已知$\text{Var}({\bar{X}}_{10})=\frac{{\sigma }^2}{n_{10}}$，$\text{Var}({\bar{X}}_{1000})=\frac{{\sigma }^2}{n_{1000}}$，那么$\text{Var}({\bar{X}}_{10}-{\bar{X}}_{1000})=\text{Var}({\bar{X}}_{10})+\text{Var}({\bar{X}}_{1000})=\frac{{\sigma }^2}{n_{10}}+\frac{{\sigma }^2}{n_{1000}}$。
• 又因为$\text{Var}({\bar{X}}_{10}-{\bar{X}}_{1000})\approx ({\bar{x}}_{10}-{\bar{x}}_{1000}{)}^2$（当样本量较大时，这是一种近似），所以${\sigma }^2\approx \frac{n_{10}{n}_{1000}({\bar{x}}_{10}-{\bar{x}}_{1000}{)}^2}{n_{10}+n_{1000}}$。
• 将$S_{1000}^2$用${\sigma }^2$的近似值替换到合并方差公式中，经过一些代数运算和近似处理，就可以得到：
  ${\sigma }^2\approx \frac{n_{10}(n_{1000}-1)s_{10}^2+n_{1000}(n_{10}-1)({\bar{x}}_{10}-{\bar{x}}_{1000}{)}^2}{n_{10}+n_{1000}-2}$