素数倒数和定理

欧拉关于所有素数倒数和的核心结论是：所有素数的倒数之和是发散的，即当考虑的素数范围无限扩大时，其倒数和会无限趋近于正无穷。

该结论的证明基于欧拉乘积公式，具体逻辑可简化为以下 3 步：

利用自然对数的泰勒展开，证明当 $x \to 1^{-}$ 时， $ln (\frac{1}{1 - x})$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ 等价，且后者趋近于正无穷（即调和级数发散）。
建立欧拉乘积公式：对 $0 < x < 1$ ，有 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} = \prod_{p 为素数} \frac{1}{1 - x ^{p}}$ （左侧是等比级数和，右侧是所有素数对应的分式乘积）。
对等式两侧取自然对数，结合步骤 1 中 “调和级数发散” 的性质，可推出右侧素数相关的对数项之和发散，进而证明 $\sum_{p 为素数} \frac{1}{p}$ 发散。

这一定理的重要意义在于，它从 “数量” 层面进一步揭示了素数的无穷性 —— 不仅素数有无限多个，其倒数的累积和也不会收敛到某个有限值，而是持续趋向无穷。