随机过程众数求解

首先明确对数正态分布的一些性质：
- 设随机变量 $X$ 服从对数正态分布，即 $Y = ln (X)$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 。
- 对数正态分布的中位数 $M$ 满足 $M = e^{μ}$ ，已知中位数 $M = 192000$ ，所以 $e^{μ} = 192000$ 。
- 对数正态分布的均值 $E (X) = e^{μ + \frac{σ ^{2}}{2}}$ ，已知均值 $E (X) = 1500000$ 。
然后求 $σ^{2}$ 的值：
- 由 $E (X) = e^{μ + \frac{σ ^{2}}{2}}$ ， $e^{μ} = 192000$ ， $E (X) = 1500000$ ，可得 $e^{μ + \frac{σ ^{2}}{2}} = 1500000$ ，即 $e^{μ} \times e^{\frac{σ ^{2}}{2}} = 1500000$ 。
- 把 $e^{μ} = 192000$ 代入上式，得 $192000 \times e^{\frac{σ ^{2}}{2}} = 1500000$ ，则 $e^{\frac{σ ^{2}}{2}} = \frac{1500000}{192000} = \frac{125}{16}$ 。
- 两边平方可得 $e^{σ^{2}} = (\frac{125}{16})^{2} = \frac{15625}{256}$ 。
最后求众数：
- 对数正态分布的众数 $M o$ 的计算公式为 $M o = e^{μ - σ^{2}}$ 。
- 因为 $e^{μ - σ^{2}} = \frac{e ^{μ}}{e ^{σ^{2}}}$ ，把 $e^{μ} = 192000$ ， $e^{σ^{2}} = \frac{15625}{256}$ 代入可得：
- $M o = \frac{192000}{\frac{15625}{256}} = 192000 \times \frac{256}{15625}$
- $192000 \times \frac{256}{15625} = \frac{192000 \times 256}{15625} = \frac{49152000}{15625} = 3145.728$ 。

所以该随机过程的众数是

3145.728

。

使用 FFmpeg 去除 MP4 视频中的声音，只拷贝视频部分，正确的命令格式如下：

plaintext
ffmpeg -i input.mp4 -c:v copy -an output.mp4

其中：

一个随机过程，它的平均数是 120 万，它的中位数是 19.2 万，求它的众数。

对数正态分布性质回顾：
- 对于对数正态分布，若 $Y = ln (X)$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则中位数 $M = e^{μ}$ ，均值 $E (X) = e^{μ + \frac{σ ^{2}}{2}}$ ，众数 $M o = e^{μ - σ^{2}}$ 。
- 已知中位数 $M = 19.2$ 万，即 $e^{μ} = 19.2 \times 1 0^{4}$ ；均值 $E (X) = 120 \times 1 0^{4}$ 。
求 $σ^{2}$ 的值：
- 因为 $E (X) = e^{μ + \frac{σ ^{2}}{2}}$ ，将 $e^{μ} = 19.2 \times 1 0^{4}$ ， $E (X) = 120 \times 1 0^{4}$ 代入可得：
  - $e^{μ} \times e^{\frac{σ ^{2}}{2}} = 120 \times 1 0^{4}$ ，即 $(19.2 \times 1 0^{4}) \times e^{\frac{σ ^{2}}{2}} = 120 \times 1 0^{4}$ 。
  - 那么 $e^{\frac{σ ^{2}}{2}} = \frac{120 \times 1 0 ^{4}}{19.2 \times 1 0 ^{4}} = \frac{120}{19.2} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4}$ 。
  - 两边平方得 $e^{σ^{2}} = (\frac{25}{4})^{2} = \frac{625}{16}$ 。
求众数：
- 由众数公式 $M o = e^{μ - σ^{2}} = \frac{e ^{μ}}{e ^{σ^{2}}}$ 。
- 把 $e^{μ} = 19.2 \times 1 0^{4}$ ， $e^{σ^{2}} = \frac{625}{16}$ 代入得：
  - $M o = \frac{19.2 \times 1 0 ^{4}}{\frac{625}{16}} = (19.2 \times 1 0^{4}) \times \frac{16}{625}$ 。
  - $19.2 \times 1 0^{4} \times \frac{16}{625} = \frac{19.2 \times 16 \times 1 0 ^{4}}{625} = \frac{307.2 \times 1 0 ^{4}}{625} = 4915.2$ 。

所以该随机过程的众数是

4915.2

。