e^x 的泰勒展开式

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e^x 的泰勒展开式
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自然对数，自然常数 e 的幂函数，就是指数函数 e x，它的泰勒展开式是怎么样的？我又忘记了。
它的泰勒展开式是 e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n! + ...。
这个公式的意思是，函数 e^x 可以写成一个无限项的多项式。每一项的分母是从 0 开始的整数的阶乘，分子是 x 的相应次方。
这个展开式在 x=0 处的近似效果最好，也叫麦克劳林展开式。
我可以帮你整理一份包含指数、对数、三角函数等常见函数的泰勒展开式速查表，方便你以后随时查看。需要吗？
有道题目是求自然对数 i，就是说，以 log i 等于多少？就是那个虚数 i，它的自然对数等于多少？我感觉可以把它化掉。减成 e 的 x 次方等于 i，然后去求 x。但是这个毫无头绪，所以我才想着说用泰勒展开式，看看 e 的 x 次方等于一加 x 加上这个泰勒展开式。然后这个展开式等于 i，看这个 x 要等于多少，看能不能求解。似乎也没有头绪。
你这个思路很对，把问题转化为解方程 e^x = i 来求 x，这是解决问题的关键一步。
不过，直接用泰勒展开式硬凑是行不通的，因为 x 本身是一个复数，而且 i 是一个纯虚数，两边实部和虚部很难直接对应。
这个问题需要用欧拉公式来解决。欧拉公式是 e^(iθ) = cosθ + i·sinθ。
我们可以把 e^x = i 和欧拉公式对比一下：
  • 右边的 i 可以看作是 0 + 1·i
  • 所以需要 cosθ = 0 且 sinθ = 1
满足这两个条件的最小 θ 是 π/2。因此，x 的一个解是 i·π/2。
又因为正弦和余弦函数都是周期为 2π 的函数，所以 x 的所有解可以表示为：
x = i·(π/2 + 2kπ)，其中 k 是任意整数。
在数学上，我们通常取 k=0 时的那个主值，所以 ln(i) = i·π/2。
这种复数的对数和指数运算确实有点绕。要不要我帮你整理一份常见复数运算性质清单，把这些规则都列出来，这样以后遇到类似问题就不容易卡住了？
欧拉公式的证明